Calcolo Esempi

$5^{e^{3 x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{3 x}$ .

$5^{e^{3 x}} \ln (5) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (e^{3 x} \cdot 3)$

Passaggio 3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (3 \cdot e^{3 x})$

Passaggio 3.3.3

Riordina i fattori di $5^{e^{3 x}} \ln (5) (3 e^{3 x})$ .

$3 \cdot 5^{e^{3 x}} e^{3 x} \ln (5)$