Calcolo Esempi

$\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$

Passaggio 1

Poiché $5 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$ rispetto a $x$ è $5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$ .

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2} + 2 x$ .

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $y^{2} + 2 x$ per $1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \frac{d}{d x} [x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \cdot 1}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.9.2

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$5 y \frac{y^{2} + 0}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.9.3

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$5 y \frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.9.4

$5$ e $\frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ .

$y \frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.9.5

$y$ e $\frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{y (5 y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 (y^{1} y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 y^{1 + 2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 6

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{5 y^{3}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$