Calcolo Esempi

$e^{\frac{3}{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{3}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3}{x}$ .

$e^{\frac{3}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{\frac{3}{x}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{\frac{3}{x}} (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{\frac{3}{x}} (3 (- x^{- 2}))$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$e^{\frac{3}{x}} (- 3 x^{- 2})$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{3}{x}} (- 3 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{3}{x}} \frac{- 3}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\frac{3}{x}} (- \frac{3}{x^{2}})$

Passaggio 3.2.3

$e^{\frac{3}{x}}$ e $\frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{3}{x}} \cdot 3}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{\frac{3}{x}}$ .

$- \frac{3 e^{\frac{3}{x}}}{x^{2}}$