Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} \cdot (\ln ({(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x + 4}{x + 5}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 4$ e $g (x) = x + 5$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $x + 5$ per $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4)}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 4.8.3

$\frac{x + 5 - (x + 4)}{{(x + 5)}^{2}}$ e $3$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{(x + 5 - (x + 4)) \cdot 3}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

Passaggio 4.8.4

Sposta $3$ alla sinistra di $x + 5 - (x + 4)$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{3 \cdot (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

Passaggio 5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - x - 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}$ .

$1 \frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}}$ per $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.5.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x + 3 \cdot - 4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.5.6

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.5.7

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{0 + 15 - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.5.8

Somma $0$ e $15$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{15 - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.5.9

Sottrai $12$ da $15$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Passaggio 5.5.10

Moltiplica $\frac{3}{{(x + 5)}^{2}}$ per $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 5.5.11

Moltiplica ${(x + 5)}^{2}$ per ${(x + 5)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.5.11.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2 + 2}}$

Passaggio 5.5.11.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 5.5.12

Moltiplica $\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}}$ per $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{4}}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 5.5.13

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x + 5)}^{3}$ .

$\frac{3 \cdot {(x + 5)}^{3} {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 5.5.14

Elimina il fattore comune di ${(x + 5)}^{3}$ e ${(x + 5)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.14.1

Scomponi ${(x + 5)}^{3}$ da $3 {(x + 5)}^{3} {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 5.5.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.14.2.1

Scomponi ${(x + 5)}^{3}$ da ${(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 5)}^{3} ({(x + 4)}^{3} (x + 5))}$

Passaggio 5.5.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 5)}^{3} ({(x + 4)}^{3} (x + 5))}$

Passaggio 5.5.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{3} (x + 5)}$

Passaggio 5.5.15

Elimina il fattore comune di ${(x + 4)}^{2}$ e ${(x + 4)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.15.1

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da $3 {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{3} (x + 5)}$

Passaggio 5.5.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.15.2.1

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da ${(x + 4)}^{3} (x + 5)$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{2} ((x + 4) (x + 5))}$

Passaggio 5.5.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{2} ((x + 4) (x + 5))}$

Passaggio 5.5.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{(x + 4) (x + 5)}$