Calcolo Esempi

${\cos (x)}^{\sin (x)}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${\cos (x)}^{\sin (x)}$ come $e^{\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})$ spostando $\sin (x)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (\cos (x))}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x) \ln (\cos (x))$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x) \ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x) \ln (\cos (x))$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 6

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) \sec (x) (- \sin (x)) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 7

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 8

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 10

Somma $1$ e $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x)) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 11

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x)) + \ln (\cos (x)) \cos (x))$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x))) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\ln (\cos (x)) \cos (x))$

Passaggio 12.2

Rimuovi le parentesi.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \sec (x) (- \sin^{2} (x)) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x)) \cos (x)$

Passaggio 12.3

Riordina i termini.

$- e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \sin^{2} (x) \sec (x) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \cos (x) \ln (\cos (x))$