Calcolo Esempi

${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$ come $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})$ spostando $\frac{1}{x^{2}}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}]$

Passaggio 2

$\frac{1}{x^{2}}$ e $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (\cos (x))$ e $g (x) = x^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 6.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 9.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 9.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 9.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x)))$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 9.2.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 \ln (\cos (x)) x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

Passaggio 9.2.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

Passaggio 10

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 10.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

Passaggio 11

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ e $\frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \sec (x) \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.1.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 12.2.1.3.1

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{- x \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.1.3.2

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)}$ e $x$ .

$\frac{- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.1.4

$\sin (x)$ e $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \frac{\sin (x) (e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x)}{\cos (x)} + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.1.6

Moltiplica $- 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))$ .

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Passaggio 12.2.1.6.1

Riordina $\ln (\cos (x))$ e $- 2$ .

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 \cdot \ln (\cos (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.1.6.2

Semplifica $- 2 \cdot \ln (\cos (x))$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.2.2.1

Frazioni separate.

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.2.2

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \tan (x)) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.2.3

Dividi $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x$ per $1$ .

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Passaggio 12.2.3

Riordina i fattori in $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ .

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Passaggio 12.3

Riordina i termini.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.4.1

Scomponi $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ da $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ .

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Passaggio 12.4.1.1

Sposta $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ .

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4.1.2

Scomponi $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ da $- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4.1.3

Scomponi $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ da $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4.1.4

Scomponi $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ da $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $x$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4.4

Scomponi $- 1$ da $- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x))$ .

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Passaggio 12.4.4.1

Riordina $\sin (x)$ e $x$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4.4.2

Scomponi $- 1$ da $- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4.4.3

Scomponi $- 1$ da $- \ln (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4.4.4

Scomponi $- 1$ da $- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x)))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \cdot - 1 (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.4.5

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.6.1

Frazioni separate.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.6.2

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Passaggio 12.6.3

Dividi $x$ per $1$ .

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$