Calcolo Esempi

$- \frac{8}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{x^{2} + 1}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- 8 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$8 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$16$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Passaggio 4.2.2

$\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$