Calcolo Esempi

$\frac{8 x}{\sin (x) + \cos (x)}$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8 x}{\sin (x) + \cos (x)}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$8 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\sin (x) + \cos (x)$ per $1$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 6

$8$ e $\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{8 (\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) + 8 (- x \cos (x)) + 8 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 (x \cos (x)) + 8 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- x (- \sin (x))$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 (1 x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.4

Riordina i termini.

$\frac{- 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.5

Scomponi $8$ da $- 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)$ .

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Passaggio 7.5.1

Scomponi $8$ da $- 8 x \cos (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.5.2

Scomponi $8$ da $8 x \sin (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.5.3

Scomponi $8$ da $8 \sin (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.5.4

Scomponi $8$ da $8 \cos (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.5.5

Scomponi $8$ da $8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x))$ .

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.5.6

Scomponi $8$ da $8 (- x \cos (x) + x \sin (x)) + 8 (\sin (x))$ .

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.5.7

Scomponi $8$ da $8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x)) + 8 (\cos (x))$ .

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.6

Scomponi $- 1$ da $- x \cos (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x)) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.7

Scomponi $- 1$ da $x \sin (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x)) - (- x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.8

Scomponi $- 1$ da $- (x \cos (x)) - (- x \sin (x))$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.9

Scomponi $- 1$ da $\sin (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x)) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.10

Scomponi $- 1$ da $- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.11

Scomponi $- 1$ da $\cos (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.12

Scomponi $- 1$ da $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.13

Riscrivi $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ come $- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ .

$\frac{8 (- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$