Calcolo Esempi

$y = \frac{7 x^{2} - 9 x + 19}{2 x + 4}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{7 x^{2} - 9 x + 19}{2 x + 4})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 7 x^{2} - 9 x + 19$ e $g (x) = 2 x + 4$ .

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 9 x + 19] - (7 x^{2} - 9 x + 19) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} - 9 x + 19$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [19]) - (7 x^{2} - 9 x + 19) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x + 4) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [19]) - (7 x^{2} - 9 x + 19) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 x + 4) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [19]) - (7 x^{2} - 9 x + 19) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [19]) - (7 x^{2} - 9 x + 19) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]) - (7 x^{2} - 9 x + 19) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]) - (7 x^{2} - 9 x + 19) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9 + \frac{d}{d x} [19]) - (7 x^{2} - 9 x + 19) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $19$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9 + 0) - (7 x^{2} - 9 x + 19) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Somma $14 x - 9$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9) - (7 x^{2} - 9 x + 19) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9) - (7 x^{2} - 9 x + 19) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9) - (7 x^{2} - 9 x + 19) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9) - (7 x^{2} - 9 x + 19) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9) - (7 x^{2} - 9 x + 19) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.14

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9) - (7 x^{2} - 9 x + 19) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.15

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.15.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9) - (7 x^{2} - 9 x + 19) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.15.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9) - 2 (7 x^{2} - 9 x + 19)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 4) (14 x - 9) - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1.1

Espandi $(2 x + 4) (14 x - 9)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (14 x - 9) + 4 (14 x - 9) - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (14 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (14 x - 9) - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (14 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (14 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot 14 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (14 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 \cdot 14 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (14 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 14 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (14 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $14$ .

$\frac{28 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (14 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{28 x^{2} - 18 x + 4 (14 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.5

Moltiplica $14$ per $4$ .

$\frac{28 x^{2} - 18 x + 56 x + 4 \cdot - 9 - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.6

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$\frac{28 x^{2} - 18 x + 56 x - 36 - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Somma $- 18 x$ e $56 x$ .

$\frac{28 x^{2} + 38 x - 36 - 2 (7 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$\frac{28 x^{2} + 38 x - 36 - 14 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $- 2$ .

$\frac{28 x^{2} + 38 x - 36 - 14 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 19}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $19$ .

$\frac{28 x^{2} + 38 x - 36 - 14 x^{2} + 18 x - 38}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $14 x^{2}$ da $28 x^{2}$ .

$\frac{14 x^{2} + 38 x - 36 + 18 x - 38}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $38 x$ e $18 x$ .

$\frac{14 x^{2} + 56 x - 36 - 38}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.4

Sottrai $38$ da $- 36$ .

$\frac{14 x^{2} + 56 x - 74}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $2$ da $14 x^{2} + 56 x - 74$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $2$ da $14 x^{2}$ .

$\frac{2 (7 x^{2}) + 56 x - 74}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi $2$ da $56 x$ .

$\frac{2 (7 x^{2}) + 2 (28 x) - 74}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Scomponi $2$ da $- 74$ .

$\frac{2 (7 x^{2}) + 2 (28 x) + 2 (- 37)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.4

Scomponi $2$ da $2 (7 x^{2}) + 2 (28 x)$ .

$\frac{2 (7 x^{2} + 28 x) + 2 (- 37)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.5

Scomponi $2$ da $2 (7 x^{2} + 28 x) + 2 (- 37)$ .

$\frac{2 (7 x^{2} + 28 x - 37)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (7 x^{2} + 28 x - 37)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (7 x^{2} + 28 x - 37)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (7 x^{2} + 28 x - 37)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $2 (x + 2)$ .

$\frac{2 (7 x^{2} + 28 x - 37)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (7 x^{2} + 28 x - 37)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.5.1

Scomponi $2$ da $4 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (7 x^{2} + 28 x - 37)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Passaggio 3.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (7 x^{2} + 28 x - 37)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Passaggio 3.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 x^{2} + 28 x - 37}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{7 x^{2} + 28 x - 37}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{2} + 28 x - 37}{2 {(x + 2)}^{2}}$