Calcolo Esempi

$\frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (3 x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \cdot 3) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$\frac{x^{2} (3 \cdot \cos (3 x)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - \sin (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 4.5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.5.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x$ .

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Passaggio 4.5.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (3 \cos (3 x))$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.5.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 \sin (3 x) x$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

Passaggio 4.5.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$

Passaggio 6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x \cos (3 x) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$