Calcolo Esempi

${\sin (x)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{3}$ e ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 6.3

Sposta ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 7

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}} \cos (x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Frazioni separate.

$\frac{\cos (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9.2

Converti da $\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ a ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x)}{3} {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 9.3

$\frac{\cos (x)}{3}$ e ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 9.4

Riordina i fattori in $\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{{\csc (x)}^{\frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$