Calcolo Esempi

${\tan (x)}^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${\tan (x)}^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (\tan (x))}]$

Passaggio 2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (\tan (x))$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{\ln (\tan (x))}{x}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{\ln (\tan (x))}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{\ln (\tan (x))}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (\tan (x))$ e $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))] - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 10.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 10.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Passaggio 10.2.2

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ e $\frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\cot (x) \sec^{2} (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.2.1.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 11.2.1.4.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \frac{1^{2}}{\sin (x) \cos (x)}) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.6

Frazioni separate.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.7

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{\cos (x)} \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.8

Frazioni separate.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.9

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{1} \sec (x) \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.10

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{1^{2}}{1} e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.11

Dividi $1^{2}$ per $1$ .

$\frac{1^{2} e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.13

Moltiplica $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.1.14

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Riordina i fattori in $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Passaggio 11.3

Riordina i termini.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Passaggio 11.4

Scomponi $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ da $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ .

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Passaggio 11.4.1

Riordina $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ e $x$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Passaggio 11.4.2

Scomponi $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ da $x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \csc (x) \sec (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Passaggio 11.4.3

Scomponi $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ da $- e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 11.4.4

Scomponi $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ da $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x) - \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$