Calcolo Esempi

$\sqrt{e^{2 x} + 2 x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e^{2 x} + 2 x}$ come ${(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = e^{2 x} + 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{2 x} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{2 x} + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 7.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{2}$ e ${(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 7.2.2

Sposta ${(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Passaggio 7.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 9

Differenzia.

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Passaggio 9.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 9.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 9.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2 \cdot 1)$

Passaggio 9.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2)$ .

$(2 e^{2 x} + 2) \frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2 e^{2 x} + 2$ per $\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3

Scomponi $2$ da $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x}) + 2}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (e^{2 x}) + 2 \cdot 1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.5

Scomponi $2$ da $2 (e^{2 x}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.6.1

Scomponi $2$ da $2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 ({(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 10.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{2 x} + 1}{{(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$