Calcolo Esempi

$e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{9}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{9}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}] + x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 e^{x} x^{8}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{8}]$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{8}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{8}$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} (8 x^{7}) + x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} (8 x^{7}) + x^{8} e^{x})$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} (8 x^{7})) + 9 (x^{8} e^{x})$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $8$ per $9$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 72 (e^{x} (x^{7})) + 9 (x^{8} e^{x})$

Passaggio 4.2.2

Somma $e^{x} (9 x^{8})$ e $9 x^{8} e^{x}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$9 x^{8} e^{x} + 9 x^{8} e^{x} + x^{9} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $9 x^{8} e^{x}$ e $9 x^{8} e^{x}$ .

$18 x^{8} e^{x} + x^{9} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$18 e^{x} x^{8} + e^{x} x^{9} + 72 e^{x} x^{7}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori in $18 e^{x} x^{8} + e^{x} x^{9} + 72 e^{x} x^{7}$ .

$18 x^{8} e^{x} + x^{9} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$