Calcolo Esempi

$e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$e^{x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.7

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$e^{x} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2 + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $2 x e^{x}$ da $e^{x} (2 x)$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $2 x e^{x}$ da $2 x e^{x}$ .

$0 - 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $2 e^{x}$ da $0$ .

$- 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 4.3.4

Somma $- 2 e^{x}$ e $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Passaggio 4.3.5

Somma $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori di $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2}$

Passaggio 4.5

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2}$ .

$x^{2} e^{x}$