Calcolo Esempi

$e^{x \sqrt{7 x - 15}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7 x - 15}$ come ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}] + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 7 x - 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $7 x - 15$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $7 x - 15$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{2}$ e ${(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9.3

Sposta ${(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9.4

$\frac{1}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x - 15] + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Moltiplica $7$ per $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 + 0) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15

Riduci le frazioni.

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Passaggio 15.1

Somma $7$ e $0$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15.2

$\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ e $7$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 7}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15.3

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 \cdot x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 17

Moltiplica ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 18

Per scrivere ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 19

${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

Moltiplica ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 21.1

Sposta ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.4

Somma $1$ e $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.5

Dividi $2$ per $2$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 22.1

Semplifica ${(7 x - 15)}^{1} \cdot 2$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + (7 x - 15) \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2

Sposta $2$ alla sinistra di $7 x - 15$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + 2 \cdot (7 x - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{7 x + 2 (7 x - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x - 15))}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24

Semplifica.

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Passaggio 24.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x) + 2 \cdot - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 24.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 24.2.1.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x + 2 \cdot - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 15$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x - 30)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.2

Somma $7 x$ e $14 x$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (21 x - 30)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 30}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 30}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.5

Sposta $- 30$ alla sinistra di $e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 \cdot e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.6

Riordina i fattori in $21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3

Riordina i termini.

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.4

Scomponi $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ da $21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.4.1

Sposta $e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.4.2

Scomponi $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ da $21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.4.3

Scomponi $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ da $- 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) + 3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (- 10)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.4.4

Scomponi $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ da $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) + 3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (- 10)$ .

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x - 10)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$