Calcolo Esempi

$lim_{x \to 153} \frac{x - 153}{\sqrt{x + 16} - 13}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 153} x - 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $153$ .

$\frac{lim_{x \to 153} x - lim_{x \to 153} 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $153$ che è costante, mentre $x$ tende a $153$ .

$\frac{lim_{x \to 153} x - 1 \cdot 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $153$ per $x$ .

$\frac{153 - 1 \cdot 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $153$ .

$\frac{153 - 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $153$ da $153$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $153$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $153$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + lim_{x \to 153} 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $153$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Passaggio 1.1.3.1.5

Calcola il limite di $13$ che è costante, mentre $x$ tende a $153$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - 1 \cdot 13}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $153$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{153 + 16} - 1 \cdot 13}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Somma $153$ e $16$ .

$\frac{0}{\sqrt{169} - 1 \cdot 13}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Riscrivi $169$ come $13^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{13^{2}} - 1 \cdot 13}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{13 - 1 \cdot 13}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $13$ .

$\frac{0}{13 - 13}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $13$ da $13$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 153} \frac{x - 153}{\sqrt{x + 16} - 13} = lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x - 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x - 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 153$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 153]$ .

$lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 153$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 153$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x + 16} - 13$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}]$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 16}$ come ${(x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(x + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 16$ .

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Passaggio 1.3.7.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 16$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 16$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.5

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.7.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.11

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.13

Moltiplica $\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.7.14

Sposta ${(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 13$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 153} 1 (2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x + 16}$ .

$lim_{x \to 153} 1 (2 \sqrt{x + 16})$

Passaggio 1.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 153} 2 \sqrt{x + 16}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16}$

Passaggio 2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + 16}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $153$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + lim_{x \to 153} 16}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $153$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + 16}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $153$ per $x$ .

$2 \sqrt{153 + 16}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Somma $153$ e $16$ .

$2 \sqrt{169}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $169$ come $13^{2}$ .

$2 \sqrt{13^{2}}$

Passaggio 4.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2 \cdot 13$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $13$ .

$26$