Calcolo Esempi

$\ln ({(3 + e^{x})}^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(3 + e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 + e^{x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$2$ e $\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) e^{x})$

Passaggio 5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.1

$e^{x}$ e $\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

Passaggio 5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riordina i fattori di $\frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$ .

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $3 + e^{x}$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $3 + e^{x}$ da ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune.

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 e^{x}}{3 + e^{x}}$