Calcolo Esempi

$\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (3 x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{3 x}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.4.1

$3$ e $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 5.8

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.8.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Passaggio 5.8.2

Scomponi $x$ da $x - 2 \ln (3 x) x$ .

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Passaggio 5.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Passaggio 5.8.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Passaggio 5.8.2.3

Scomponi $x$ da $- 2 \ln (3 x) x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

Passaggio 5.8.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{2 x^{3}}$

Passaggio 8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1

Semplifica $- 2 \ln (3 x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1 - \ln ({(3 x)}^{2})}{2 x^{3}}$

Passaggio 8.2

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$\frac{1 - \ln (3^{2} x^{2})}{2 x^{3}}$

Passaggio 8.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 - \ln (9 x^{2})}{2 x^{3}}$