Calcolo Esempi

$\ln ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 8 x^{3} - 3 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $8 x^{3} - 3 x$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $8 x^{3} - 3 x$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 8

$\frac{1}{2}$ e ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 9

Sposta ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Passaggio 11

Moltiplica ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.1

Sposta ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Passaggio 11.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Passaggio 11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Passaggio 11.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Passaggio 11.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Passaggio 12

Semplifica $2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Passaggio 13

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 14

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 16

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 17

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 18

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \cdot 1)$

Passaggio 19

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 (8 x^{3}) + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Passaggio 20.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 20.2.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{1}{16 x^{3} + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Passaggio 20.2.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$

Passaggio 20.3

Riordina i fattori di $\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{16 x^{3} - 6 x}$

Passaggio 20.4

Scomponi $2 x$ da $16 x^{3} - 6 x$ .

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Passaggio 20.4.1

Scomponi $2 x$ da $16 x^{3}$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) - 6 x}$

Passaggio 20.4.2

Scomponi $2 x$ da $- 6 x$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)}$

Passaggio 20.4.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Passaggio 20.5

Moltiplica $24 x^{2} - 3$ per $\frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$ .

$\frac{24 x^{2} - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Passaggio 20.6

Scomponi $3$ da $24 x^{2} - 3$ .

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Passaggio 20.6.1

Scomponi $3$ da $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2}) - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Passaggio 20.6.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Passaggio 20.6.3

Scomponi $3$ da $3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (8 x^{2} - 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$