Calcolo Esempi

$\frac{\ln (7 x)}{x^{5}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (7 x)$ e $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{7 x}$ e $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $x$ da $7 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.4.1

$7$ e $\frac{x^{4}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.4.2.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Passaggio 4.8

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.8.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Passaggio 4.8.2

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Passaggio 4.8.2.2

Scomponi $x^{4}$ da $- 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Passaggio 4.8.2.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 5 \ln (7 x)}{x^{6}}$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Semplifica $- 5 \ln (7 x)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{5})}{x^{6}}$

Passaggio 6.2

Applica la regola del prodotto a $7 x$ .

$\frac{1 - \ln (7^{5} x^{5})}{x^{6}}$

Passaggio 6.3

Eleva $7$ alla potenza di $5$ .

$\frac{1 - \ln (16807 x^{5})}{x^{6}}$