Calcolo Esempi

$\log_{5} (1 + 2 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log_{5} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.5

$2$ e $\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + 2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{(1 + 2 x) \ln (5)} \cdot 1$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\frac{2}{(1 + 2 x) \ln (5)}$ per $1$ .

$\frac{2}{(1 + 2 x) \ln (5)}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{1 \ln (5) + 2 x \ln (5)}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\ln (5)$ per $1$ .

$\frac{2}{\ln (5) + 2 x \ln (5)}$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$\frac{2}{2 x \ln (5) + \ln (5)}$