Calcolo Esempi

$\log_{2} (x^{2} + 10 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{2} (x)$ e $g (x) = x^{2} + 10 x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 10 x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log_{2} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 10 x$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 10 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x])$

Passaggio 2.3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10 \cdot 1)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $10$ per $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)} (2 x + 10)$

Passaggio 3.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)} (2 x + 10)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x \ln (2)$ da $x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x \ln (2)$ da $x^{2} \ln (2)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x) + 10 x \ln (2)}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x \ln (2)$ da $10 x \ln (2)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x) + x \ln (2) (10)}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $x \ln (2)$ da $x \ln (2) (x) + x \ln (2) (10)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x + 10)}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2 x + 10$ per $\frac{1}{x \ln (2) (x + 10)}$ .

$\frac{2 x + 10}{x \ln (2) (x + 10)}$

Passaggio 3.5

Scomponi $2$ da $2 x + 10$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 10}{x \ln (2) (x + 10)}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 5}{x \ln (2) (x + 10)}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x \ln (2) (x + 10)}$