Calcolo Esempi

$\sqrt{4 x + 8}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 8}]$ come $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $4 x + 8$ come $2^{2} (x + 2)$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 8}]$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (2)}]$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $4$ da $4 (x) + 4 (2)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 2)}]$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 2)}]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 2}$ come ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 8

Semplifica i termini.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 8.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 8.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 12.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 12.2

Moltiplica $\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$