Calcolo Esempi

$\sqrt{2 x + 4 y} + \sqrt{4 x y}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{2 x + 4 y} + \sqrt{4 x y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x + 4 y}$ come ${(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x + 4 y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x + 4 y$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 4 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.6

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.13

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.14

$\frac{1}{2}$ e ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.15

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.16

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.17

Sposta ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.18

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 2.19

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 x y}$ come ${(4 x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(4 x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Scomponi $4$ da $4 x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(4 (x y))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Applica la regola del prodotto a $4 (x y)$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.5

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{1} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.7

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.10

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (y \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (y \cdot 1))$

Passaggio 3.12

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (y \cdot 1))$

Passaggio 3.13

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (y \cdot 1))$

Passaggio 3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (y \cdot 1))$

Passaggio 3.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (y \cdot 1))$

Passaggio 3.15.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} (y \cdot 1))$

Passaggio 3.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} (y \cdot 1))$

Passaggio 3.17

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} y)$

Passaggio 3.18

$\frac{1}{2}$ e ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)$

Passaggio 3.19

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}$

Passaggio 3.20

Sposta ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.21

$2$ e $\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.22

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.23

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$