Calcolo Esempi

$\sqrt[3]{\frac{2 x + 5}{3 x + 2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{\frac{2 x + 5}{3 x + 2}}$ come ${(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x + 5$ e $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia.

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Passaggio 9.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 \cdot (3 x + 2) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.12.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.12.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 9.12.3

Moltiplica $\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2} \cdot 3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 9.12.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${(3 x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 \cdot {(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{3 x + 2}{2 x + 5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 10.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2 - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 10.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x + 2 \cdot 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{6 x + 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.5.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{6 x + 4 - 6 x - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.5.4

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$\frac{6 x + 4 - 6 x - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.5.5

Sottrai $6 x$ da $6 x$ .

$\frac{0 + 4 - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.5.6

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{4 - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.5.7

Sottrai $15$ da $4$ .

$\frac{- 11}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{11}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.5.9

Moltiplica $\frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{11}{3 {(3 x + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 11}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} (3 {(3 x + 2)}^{2})}$

Passaggio 10.5.10

Sposta $11$ alla sinistra di ${(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11 \cdot {(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} (3 {(3 x + 2)}^{2})}$

Passaggio 10.5.11

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11 {(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 10.5.12

Sposta ${(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.5.13

Moltiplica ${(3 x + 2)}^{2}$ per ${(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.5.13.1

Sposta ${(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} ({(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2})}$

Passaggio 10.5.13.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Passaggio 10.5.13.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Passaggio 10.5.13.4

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 10.5.13.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 10.5.13.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.5.13.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Passaggio 10.5.13.6.2

Somma $- 2$ e $6$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{4}{3}}}$