Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x^{6} - 7 x^{5} + 3}{x^{4}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{6} - 7 x^{5} + 3$ e $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{6} - 7 x^{5} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{6}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{x^{4} (2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $5$ per $- 7$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4} + 0) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.10

Somma $12 x^{5} - 35 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.12

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.12.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 2.12.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}$ .

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Passaggio 2.12.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4})$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 2.12.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) + x^{3} (- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{8}}$

Passaggio 2.12.2.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) + x^{3} (- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{8}}$

Passaggio 3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3)}{x^{5}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (12 x^{5}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3)}{x^{5}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (12 x^{5}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{12 x \cdot x^{5} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.2.1

Sposta $x^{5}$ .

$\frac{12 (x^{5} x) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ .

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Passaggio 4.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 (x^{5} x^{1}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 x^{5 + 1} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.2.3

Somma $5$ e $1$ .

$\frac{12 x^{6} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{12 x^{6} - 35 x \cdot x^{4} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.4.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 (x^{4} x) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.4.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

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Passaggio 4.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 (x^{4} x^{1}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{4 + 1} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.4.3

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.6

Moltiplica $- 7$ per $- 4$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} + 28 x^{5} - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.1.7

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} + 28 x^{5} - 12}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $8 x^{6}$ da $12 x^{6}$ .

$\frac{4 x^{6} - 35 x^{5} + 28 x^{5} - 12}{x^{5}}$

Passaggio 4.3.3

Somma $- 35 x^{5}$ e $28 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{6} - 7 x^{5} - 12}{x^{5}}$