Calcolo Esempi

$2 x {(4 - x)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(4 - x)}^{2}$ come $(4 - x) (4 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 x ((4 - x) (4 - x))]$

Passaggio 2

Espandi $(4 - x) (4 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 (4 - x) - x (4 - x))]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x))]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x))]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - x (- x))]$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2})]$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + x^{2})]$

Passaggio 3.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 8 x + x^{2})]$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x (16 - 8 x + x^{2})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 16 - 8 x + x^{2}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}] + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - 8 x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.6

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$2 (x (- 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \cdot 1)$

Passaggio 6.9

Moltiplica $16 - 8 x + x^{2}$ per $1$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x \cdot - 8 + x (2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x \cdot - 8) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Sposta $- 8$ alla sinistra di $x$ .

$2 (- 8 \cdot x) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$- 16 x + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 16 x + 2 (2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$- 16 x + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3.8

Moltiplica $2$ per $16$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3.9

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 - 16 x + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3.10

Sottrai $16 x$ da $- 16 x$ .

$- 32 x + 4 x^{2} + 32 + 2 x^{2}$

Passaggio 7.3.11

Somma $4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$- 32 x + 6 x^{2} + 32$

Passaggio 7.4

Riordina i termini.

$6 x^{2} - 32 x + 32$