Calcolo Esempi

$2 x e^{- x} + e^{2 x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x e^{- x} + e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{- x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.9

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.10

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} \cdot 2$

Passaggio 3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 e^{2 x}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$ .

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$