Calcolo Esempi

$2 x e^{5 x^{3}}$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{5 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{5 x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{5 x^{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{5 x^{3}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x^{3}}] + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x^{3}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x^{3}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{3}$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (5 (3 x^{2}))) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (15 x^{2})) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{2} x^{1} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (x^{2 + 1} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Somma $2$ e $1$ .

$2 (x^{3} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Sposta $15$ alla sinistra di $e^{5 x^{3}}$ .

$2 (x^{3} (15 \cdot e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}} \cdot 1)$

Passaggio 9

Moltiplica $e^{5 x^{3}}$ per $1$ .

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}})$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}})) + 2 e^{5 x^{3}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $15$ per $2$ .

$30 x^{3} e^{5 x^{3}} + 2 e^{5 x^{3}}$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$30 e^{5 x^{3}} x^{3} + 2 e^{5 x^{3}}$

Passaggio 10.4

Riordina i fattori in $30 e^{5 x^{3}} x^{3} + 2 e^{5 x^{3}}$ .

$30 x^{3} e^{5 x^{3}} + 2 e^{5 x^{3}}$