Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x - 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x - 4}$ come ${(x - 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - \frac{1}{{((3) - 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sottrai $4$ da $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 6.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (3) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (3) = - 1$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- 1$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 4)$ .

Decrescente su $(- \infty, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - \frac{1}{{((5) - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sottrai $4$ da $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 7.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (5) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (5) = - 1$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $- 1$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Passaggio 9