Calcolo Esempi

$2 x \log_{3} (\sqrt{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{\frac{1}{2}})] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{3} (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\log_{3} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$2 (x (\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$ e $x$ .

$2 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 (\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Moltiplica $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)}$ per $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 14.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14.4

Dividi $0$ per $2$ .

$2 (\frac{x^{0}}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 15.1

Semplifica $x^{0}$ .

$2 (\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (3)$ .

$2 (\frac{1}{2 \cdot \ln (3)} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{2 \ln (3)} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

Passaggio 17

Moltiplica $\log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$ per $1$ .

$2 (\frac{1}{2 \ln (3)} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{1}{2 \ln (3)} + 2 \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 18.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 18.2.1

$2$ e $\frac{1}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{2}{2 \ln (3)} + 2 \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 18.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 18.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 \ln (3)} + 2 \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 18.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\ln (3)} + 2 \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 18.3

Riordina i termini.

$2 \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{\ln (3)}$