Calcolo Esempi

$5 x^{4} + 20 x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $5 x^{4} + 20 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} + 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x^{3} + 60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $60$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $60 x^{2} + 120 x$ .

$60 x^{2} + 120 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $60 x^{2} + 120 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$60 x^{2} + 120 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $60 x$ da $60 x^{2} + 120 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $60 x$ da $60 x^{2}$ .

$60 x (x) + 120 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $60 x$ da $120 x$ .

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $60 x$ da $60 x (x) + 60 x (2)$ .

$60 x (x + 2) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $60 x (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 5 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 20 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 20 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $20$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $5$ per $16$ .

$f (- 2) = 80 + 20 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = 80 + 20 \cdot - 8$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 8$ .

$f (- 2) = 80 - 160$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $160$ da $80$ .

$f (- 2) = - 80$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $- 80$ .

$- 80$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ è $(- 2, - 80)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, - 80)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 2, - 80)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $60$ per $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $120$ per $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $252$ da $264.6$ .

$f'' (- 2.1) = 12.6$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $12.6$ .

$12.6$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 2.1$ , la derivata seconda è $12.6$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $60$ per $1$ .

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $120$ per $- 1$ .

$f'' (- 1) = 60 - 120$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $120$ da $60$ .

$f'' (- 1) = - 60$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 60$ .

$- 60$

Passaggio 7.3

Per $- 1$ , la derivata seconda è $- 60$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2, 0)$ .

Decrescente su $(- 2, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $60$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $120$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

Passaggio 8.2.2

Somma $0.6$ e $12$ .

$f'' (0.1) = 12.6$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $12.6$ .

$12.6$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $12.6$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 2, - 80), (0, 0)$ .

$(- 2, - 80), (0, 0)$

Passaggio 10