Calcolo Esempi

$4 \sqrt{9 x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{9 x^{2} + 3}$ come ${(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 9 x^{2} + 3$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x^{2} + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x^{2} + 3$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 8

$\frac{1}{2}$ e ${(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 9

Sposta ${(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Passaggio 10

$\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

Passaggio 11

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

Passaggio 12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.1

Scomponi $2$ da $2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

Passaggio 13

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 14

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 16

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 17

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0)$

Passaggio 18

Riduci le frazioni.

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Passaggio 18.1

Somma $18 x$ e $0$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (18 x)$

Passaggio 18.2

$18$ e $\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 18.3

Moltiplica $18$ per $2$ .

$\frac{36}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 18.4

$\frac{36}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{36 x}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$