Calcolo Esempi

$4 x^{2} - x - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - x - \frac{1}{\sqrt{x}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$8 x - 1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 x - 1 - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x - 1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$8 x - 1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x - 1 - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$8 x - 1 - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x - 1 - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.7

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 4.7.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x - 1 - (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$8 x - 1 - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 x - 1 - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.13

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 x - 1 - (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.14

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$8 x - 1 - - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.15

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.15.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x - 1 - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.15.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 x - 1 - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.15.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 x - 1 - - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 x - 1 - - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.15.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.15.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 x - 1 - - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.15.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$8 x - 1 - - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.15.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 x - 1 - - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.16

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x - 1 - - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.17

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 x - 1 + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.18

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$8 x - 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 4.19

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ per $0$ .

$8 x - 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 0$

Passaggio 4.20

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$8 x - 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$