Calcolo Esempi

$5 x^{4} (x^{3} - 4)$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4} (x^{3} - 4)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{3} - 4)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{3} - 4)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{3} - 4$ .

$5 (x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4] + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$5 (x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (x^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (x^{4} (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.4

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$5 (x^{4} (3 x^{2}) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{4} \cdot 3 + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 (x^{2 + 4} \cdot 3 + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.3

Somma $2$ e $4$ .

$5 (x^{6} \cdot 3 + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 5

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{6}$ .

$5 (3 \cdot x^{6} + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (3 x^{6} + (x^{3} - 4) (4 x^{3}))$

Passaggio 7

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{3} - 4$ .

$5 (3 x^{6} + 4 \cdot (x^{3} - 4) x^{3})$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (3 x^{6} + (4 x^{3} + 4 \cdot - 4) x^{3})$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 (3 x^{6} + 4 x^{3} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3})$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 (3 x^{6}) + 5 (4 x^{3} x^{3}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Passaggio 8.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.4.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{6} + 5 (4 x^{3} x^{3}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Passaggio 8.4.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$15 x^{6} + 5 (4 (x^{3} x^{3})) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Passaggio 8.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$15 x^{6} + 5 (4 x^{3 + 3}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Passaggio 8.4.2.3

Somma $3$ e $3$ .

$15 x^{6} + 5 (4 x^{6}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Passaggio 8.4.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$15 x^{6} + 20 x^{6} + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Passaggio 8.4.4

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$15 x^{6} + 20 x^{6} + 5 (- 16 x^{3})$

Passaggio 8.4.5

Moltiplica $- 16$ per $5$ .

$15 x^{6} + 20 x^{6} - 80 x^{3}$

Passaggio 8.4.6

Somma $15 x^{6}$ e $20 x^{6}$ .

$35 x^{6} - 80 x^{3}$