Calcolo Esempi

$2 \cos^{3} (e^{2 x})$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos^{3} (e^{2 x})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (e^{2 x})$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (e^{2 x})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (e^{2 x})$ .

$2 (3 \cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Passaggio 3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 (\cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $e^{2 x}$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{2 x}$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Passaggio 7.4.2

Riordina i fattori di $- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 12 e^{2 x} \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x})$