Calcolo Esempi

$1 - \arctan (e^{x})$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \arctan (e^{x})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$

Passaggio 1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \arctan (e^{x})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} e^{x})$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} e^{x})$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 x}} e^{x})$

Passaggio 2.5

$\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ e $e^{x}$ .

$0 - \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

Passaggio 3

Sottrai $\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$ da $0$ .

$- \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$