Calcolo Esempi

$16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Passaggio 1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$16 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $2$ per $16$ .

$32 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 3.4

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 0)$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x)$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $32$ .

$64 (x^{2} + y^{2}) x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(64 x^{2} + 64 y^{2}) x$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$64 x^{2} x + 64 y^{2} x$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$64 (x^{1} x^{2}) + 64 y^{2} x$

Passaggio 4.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$64 x^{1 + 2} + 64 y^{2} x$

Passaggio 4.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$64 x^{3} + 64 y^{2} x$