Calcolo Esempi

$x e^{x} \sin (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$x e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x}) + \sin (x) e^{x}$

Passaggio 6.2

Riordina i termini.

$e^{x} x \cos (x) + e^{x} x \sin (x) + e^{x} \sin (x)$