Calcolo Esempi

$\frac{x + 6}{\sqrt{x^{2} + 6}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 6}$ come ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 6$ e $g (x) = {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Passaggio 5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Passaggio 5.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + 6$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + 6$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{{(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 11.3

Sposta ${(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Passaggio 12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]))}{x^{2} + 6}$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [6]))}{x^{2} + 6}$

Passaggio 14

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{x^{2} + 6}$

Passaggio 15

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{x^{2} + 6}$

Passaggio 15.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} x)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 15.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 15.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 15.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) \frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Sia $u_{2} = {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ con $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Moltiplica $u_{2}$ per $u_{2}$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- x - 6) x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x \cdot x - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - (x \cdot x) - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x^{2} - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.3.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{1} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.3.1.2

Semplifica.

$\frac{\frac{x^{2} + 6 - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.3.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + 6 - x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.3.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 6 - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.3.2.2

Somma $0$ e $6$ .

$\frac{\frac{6 - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.4

Scomponi $6$ da $6 - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.4.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\frac{\frac{6 (1) - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.4.2

Scomponi $6$ da $- 6 x$ .

$\frac{\frac{6 (1) + 6 (- x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.2.4.3

Scomponi $6$ da $6 (1) + 6 (- x)$ .

$\frac{\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Riscrivi $\frac{\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$ come un prodotto.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6}$

Passaggio 16.3.2

Moltiplica $\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} + 6}$ .

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 6)}$

Passaggio 16.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 6$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.3.1

Moltiplica ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.3.1.1

Eleva $x^{2} + 6$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6)}^{1}}$

Passaggio 16.3.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 16.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 16.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 16.3.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}}$