Calcolo Esempi

$x^{4} {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 3) (x - 3))]$

Passaggio 2

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 3) - 3 (x - 3))]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 3.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]$

Passaggio 3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 6 x + 9)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 5.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$x^{4} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 5.6

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{4} (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 5.7

Somma $2 x - 6$ e $0$ .

$x^{4} (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 5.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (4 x^{3})$

Passaggio 5.9

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{4} (2 x - 6) + 4 \cdot (x^{2} - 6 x + 9) x^{3}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + 4 (x^{2} - 6 x + 9) x^{3}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + (4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot 9) x^{3}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.1.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

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Passaggio 6.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.3

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 6 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.4.3

Somma $3$ e $2$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.5

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.6

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 (x^{3} x) + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.6.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 6.4.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{3 + 1} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{4} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Passaggio 6.4.7

Moltiplica $4$ per $9$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{4} + 36 x^{3}$

Passaggio 6.4.8

Somma $2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 6 x^{4} - 24 x^{4} + 36 x^{3}$

Passaggio 6.4.9

Sottrai $24 x^{4}$ da $- 6 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$