Calcolo Esempi

$x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = t x$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t x$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t x$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Passaggio 2.2

Poiché $t$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $t x$ rispetto a $x$ è $t \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $t$ per $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

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Passaggio 3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x))]$

Passaggio 3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x^{1}))]$

Passaggio 3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{1 + 1})]$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{2})]$

Passaggio 3.5

Poiché $3 t$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 t x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t (2 x)$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 6 t x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $t x$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{2} x^{2}) t + 6 t x$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) x^{2} + 6 t x$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{2} + 3 t^{1 + 2} x^{2} + 6 t x$

Passaggio 4.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$3 x^{2} + 3 t^{3} x^{2} + 6 t x$