Calcolo Esempi

x^{\sec (x)}

$x^{\sec (x)}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi

x^{\sec (x)}

$x^{\sec (x)}$ come

e^{\ln (x^{\sec (x)})}

$e^{\ln (x^{\sec (x)})}$ .

\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sec (x)})}]

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sec (x)})}]$

Passaggio 1.2

Espandi

\ln (x^{\sec (x)})

$\ln (x^{\sec (x)})$ spostando

\sec (x)

$\sec (x)$ fuori dal logaritmo.

\frac{d}{d x} [e^{\sec (x) \ln (x)}]

$\frac{d}{d x} [e^{\sec (x) \ln (x)}]$

\frac{d}{d x} [e^{\sec (x) \ln (x)}]

$\frac{d}{d x} [e^{\sec (x) \ln (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ e

g (x) = \sec (x) \ln (x)

$g (x) = \sec (x) \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u

$u$ come

\sec (x) \ln (x)

$\sec (x) \ln (x)$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

\sec (x) \ln (x)

$\sec (x) \ln (x)$ .

e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]

$e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]

$e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

f (x) = \sec (x)

$f (x) = \sec (x)$ e

g (x) = \ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ .

e^{\sec (x) \ln (x)} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 4

La derivata di

\ln (x)

$\ln (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

e^{\sec (x) \ln (x)} (\sec (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\sec (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 5

\sec (x)

$\sec (x)$ e

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

e^{\sec (x) \ln (x)} (\frac{\sec (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\frac{\sec (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 6

La derivata di

\sec (x)

$\sec (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\sec (x) \tan (x)

$\sec (x) \tan (x)$ .

e^{\sec (x) \ln (x)} (\frac{\sec (x)}{x} + \ln (x) (\sec (x) \tan (x)))

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\frac{\sec (x)}{x} + \ln (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{\sec (x)}{x} + e^{\sec (x) \ln (x)} (\ln (x) (\sec (x) \tan (x)))

$e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{\sec (x)}{x} + e^{\sec (x) \ln (x)} (\ln (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 7.2

e^{\sec (x) \ln (x)}

$e^{\sec (x) \ln (x)}$ e

\frac{\sec (x)}{x}

$\frac{\sec (x)}{x}$ .

\frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x} + e^{\sec (x) \ln (x)} \ln (x) \sec (x) \tan (x)

$\frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x} + e^{\sec (x) \ln (x)} \ln (x) \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (x) + \frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x}

$e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (x) + \frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x}$

e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (x) + \frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x}

$e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (x) + \frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x}$