Calcolo Esempi

$x^{e x}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{e x}$ come $e^{\ln (x^{e x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e x})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{e x})$ spostando $e x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{e x \ln (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = e x \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e x \ln (x)$ .

$e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Passaggio 3

Poiché $e$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $e \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{e x \ln (x)} (e \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Passaggio 4

Moltiplica $e^{e x \ln (x)}$ per $e$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $e$ .

$e e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 4.2

Moltiplica $e$ per $e^{e x \ln (x)}$ .

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Passaggio 4.2.1

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$e^{1} e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{1 + e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 7.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x))$