Calcolo Esempi

$x^{3} (7 - x^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 7 - x^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [7 - x^{2}] + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} (- (2 x)) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{3} (- 2 x) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot - 2 + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot - 2 + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 3} \cdot - 2 + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3

Somma $1$ e $3$ .

$x^{4} \cdot - 2 + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$- 2 \cdot x^{4} + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 x^{4} + (7 - x^{2}) (3 x^{2})$

Passaggio 6

Sposta $3$ alla sinistra di $7 - x^{2}$ .

$- 2 x^{4} + 3 \cdot (7 - x^{2}) x^{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x^{4} + (3 \cdot 7 + 3 (- x^{2})) x^{2}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x^{4} + 3 \cdot 7 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2}$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $3$ per $7$ .

$- 2 x^{4} + 21 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 2 x^{4} + 21 x^{2} - 3 x^{2} x^{2}$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.3.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 2 x^{4} + 21 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2})$

Passaggio 7.3.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{4} + 21 x^{2} - 3 x^{2 + 2}$

Passaggio 7.3.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$- 2 x^{4} + 21 x^{2} - 3 x^{4}$

Passaggio 7.3.4

Sottrai $3 x^{4}$ da $- 2 x^{4}$ .

$- 5 x^{4} + 21 x^{2}$