Calcolo Esempi

$x^{2} y^{3 - x^{3} + y + 2}$

Passaggio 1

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{- x^{3} + y + 5}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{- x^{3} + y + 5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{- x^{3} + y + 5}] + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza generalizzata, secondo la quale $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = y$ e $g = - x^{3} + y + 5$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 5 - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (0 ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- x^{3} + y + 5$ per $0$ .

$x^{2} (0 y^{- x^{3} + y + 4} + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $0$ per $y^{- x^{3} + y + 4}$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + y + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{2} ((\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} ((- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} ((- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.8

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.9

Somma $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.10

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + 0) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.11

Somma $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} (- 3 x^{2} y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 2} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.3

Somma $2$ e $2$ .

$x^{4} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{4} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} (2 x)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riordina i termini.

$- 3 y^{- x^{3} + y + 5} x^{4} \ln (y) + 2 y^{- x^{3} + y + 5} x$

Passaggio 7.2

Riordina i fattori in $- 3 y^{- x^{3} + y + 5} x^{4} \ln (y) + 2 y^{- x^{3} + y + 5} x$ .

$- 3 x^{4} y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y) + 2 x y^{- x^{3} + y + 5}$