Calcolo Esempi

$f (x) = (x^{5} - 3 x) (\frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5} - 3 x$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 2.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3 \cdot 1)$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3)$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3)$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$x^{5} \frac{- 2}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{5} (- \frac{2}{x^{3}}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.3

$x^{5}$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{x^{5} \cdot 2}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{5}}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.5

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{3}$ .

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Passaggio 3.4.5.1

Scomponi $x^{3}$ da $2 x^{5}$ .

$- \frac{x^{3} (2 x^{2})}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$- \frac{x^{3} (2 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x^{3} (2 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 x^{2}}{1} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.5.2.4

Dividi $2 x^{2}$ per $1$ .

$- (2 x^{2}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.7

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 2 x^{2} - 3 x \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 2 x^{2} - 3 x (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- 2 x^{2} + 3 x \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.10

$3$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- 2 x^{2} + x \frac{3 \cdot 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.11

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 2 x^{2} + x \frac{6}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.12

$x$ e $\frac{6}{x^{3}}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.13

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6 \cdot x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.14

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{3}$ .

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Passaggio 3.4.14.1

Scomponi $x$ da $6 x$ .

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.14.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.14.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.15

$5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} x^{4} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.16

$\frac{5}{x^{2}}$ e $x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.17

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.17.1

Scomponi $x^{2}$ da $5 x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.17.2.1

Moltiplica per $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{5 x^{2}}{1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.17.2.4

Dividi $5 x^{2}$ per $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 5 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Passaggio 3.4.18

$\frac{1}{x^{2}}$ e $- 3$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 5 x^{2} + \frac{- 3}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 5 x^{2} - \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.20

Somma $- 2 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x^{2} + \frac{6 - 3}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.22

Sottrai $3$ da $6$ .

$3 x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$