Calcolo Esempi

$f (x) = (2 x - 1) (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x - 1$ e $g (x) = \ln (5 x + 1) + x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1) + x^{2}] + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (5 x + 1) + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x + 1$ .

$(2 x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x + 1$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 4.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 4.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 4.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 4.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.1

Somma $5$ e $0$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 4.6.2

$\frac{1}{5 x + 1}$ e $5$ .

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + 2 x) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 5

Per scrivere $2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ .

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + \frac{2 x (5 x + 1)}{5 x + 1}) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 + 0)$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 12.1

Somma $2$ e $0$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \cdot 2$

Passaggio 12.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (5 x + 1) + x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + 2 \cdot (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Passaggio 13.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 13.3.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x \cdot x + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Passaggio 13.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 (x^{1} x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Passaggio 13.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Passaggio 13.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{1 + 1} + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Passaggio 13.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Passaggio 13.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Passaggio 13.4

Riordina i termini.

$2 x^{2} + (2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1)$