Calcolo Esempi

$\int_{0}^{7} \sqrt{7 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 7 x$ . Allora $d u = 7 d x$ , quindi $\frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 7 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $7$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 \cdot 7$

Passaggio 1.5

Moltiplica $7$ per $7$ .

$u_{upper} = 49$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 49$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{7} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int_{0}^{49} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{49}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $49$ e per $0$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.5

$\frac{2}{3}$ e $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $2$ per $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.8

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 6.2.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Passaggio 6.2.11

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 6.2.12

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0)$

Passaggio 6.2.13

Somma $\frac{686}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{686}{3}$

Passaggio 6.2.14

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{686}{3}$ .

$\frac{686}{7 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.15

Moltiplica $7$ per $3$ .

$\frac{686}{21}$

Passaggio 6.2.16

Elimina il fattore comune di $686$ e $21$ .

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Passaggio 6.2.16.1

Scomponi $7$ da $686$ .

$\frac{7 (98)}{21}$

Passaggio 6.2.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.16.2.1

Scomponi $7$ da $21$ .

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{98}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{98}{3}$

Forma decimale:

$32.\overline{6}$

Forma numero misto:

$32 \frac{2}{3}$

Passaggio 8